Ta có: \(x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\Rightarrow x^2=\frac{1}{16}-\frac{1}{8}\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2+\frac{1}{8}}}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\sqrt{2+\frac{1}{8}}}+\sqrt{2}\right)=\frac{-x\sqrt{2}+\sqrt{2}}{4}\Rightarrow x^4=\frac{x^2-2x+1}{8}\)

Và \(x^4+x+1=\frac{\left(x+3\right)^2}{8}\)

Thay vào A ta có A=\(\sqrt{2}\)

Từ giả thiết ta suy ra  \(2x=\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{4}\). Bình phương hai vế cho ta

\(4x^2=\sqrt{2}+\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}+\frac{1}{8}=\sqrt{2}+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}=\sqrt{2}\left(1-x\right).\)

Từ đây ta được \(4x^2=\sqrt{2}\left(1-x\right)\to2\sqrt{2}x^2+x-1=0\to x=-2\sqrt{2}x^2+1.\)

Suy ra \(x^4+x+1=x^4-2\sqrt{2}x^2+2=\left(x^2-\sqrt{2}\right)^2.\) Do vậy ta thu được

\(A=x^2+\sqrt{\left(x^2-\sqrt{2}\right)^2}=x^2+\left|x^2-\sqrt{2}\right|.\)

Mặt khác từ giả thiết suy ra \(0

a: \(P=\dfrac{\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1-x+4}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-2}{3}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{3\sqrt{x}}\)

b: P=1/4

=>\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{3\sqrt{x}}=\dfrac{1}{4}\)

=>\(4\left(\sqrt{x}-2\right)=3\sqrt{x}\)

=>\(4\sqrt{x}-8-3\sqrt{x}=0\)

=>\(\sqrt{x}=8\)

=>x=64

c: Khi \(x=4+2\sqrt{3}\) thì \(P=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-2}{3\cdot\sqrt{4+2\sqrt{3}}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}+1-2}{3\left(\sqrt{3}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt{3}+3}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{3}\)

Ta có : \(a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}\Leftrightarrow8a=4\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\sqrt{2}\Leftrightarrow8a+\sqrt{2}=4\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\)

\(\Leftrightarrow\left(8a+\sqrt{2}\right)^2=16\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\)  \(\Leftrightarrow64a^2+16\sqrt{2}a+2=16\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\Leftrightarrow64a^2+16\sqrt{2}a+2=16\sqrt{2}+2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+\sqrt{2}a=\sqrt{2}\Leftrightarrow4a^2=\sqrt{2}-\sqrt{2}a\)

Đặt \(Y=\sqrt{a^4+a+1}-a^2\) \(\Rightarrow XY=a+1\Leftrightarrow X.\left(-Y\right)=-\left(a+1\right)\) (1)

\(X+\left(-Y\right)=2a^2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}a}{2}=\frac{1-a}{\sqrt{2}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra X và Y là hai nghiệm của phương trình \(t^2+\frac{1-a}{\sqrt{2}}.t-\left(a+1\right)=0\)

Giải phương trình trên được \(t_1=-\sqrt{2}\)  ; \(t_2=-\frac{x+1}{\sqrt{2}}\) 

Suy ra : \(X=\sqrt{2}\) (vì X > 0)

nhân vế vs vế của 1 vs 2 à pn. nhưng t^2 ở đâu ra vậy